Cele mai importante lucruri despre polinoame pentru Bac

Ce e foarte important la polinoame? O să vezi părțile de bază. De multe ori este un șir de formule acolo care n-are absolut niciun sens pentru oamenii care urmează să dea bacul la matematică. Și atunci fug de capitolul ăsta. Algoritmul în sine nu este complicat.

Ce e foarte important la polinoame

La operații am zis că, dacă le adunăm, îl luăm pe fiecare polinom în parte. La înmulțire am zis că le luăm pe fiecare. Se înmulțește fiecare cu fiecare.

Ce ne interesează de acum înainte, și doar pe asta o să stăm, este împărțirea, care este un întreg algoritm. Aș zice eu că este poate unul dintre cele mai lungi chestii pe care le facem, unul dintre cei mai lungi algoritmi de la Bac în general. Și dacă-l prindem, este foarte, foarte bine.

Algoritmul în sine nu este complicat

Știți că sunt destul de sincer cu voi și vă zic când e urât și nașpa și greu. Împărțirea nu se încadrează nici, nici, e undeva la mijloc. Este un algoritm repetitiv, pe care trebuie să-l facem de mai multe ori. Dacă prinzi un pic schema de lucru, e destul de lejer.

Ca și când ar fi două armate

Gândiți-vă ca și când ar fi două armate. Soldații fiecărei armate sunt puși de la cel mai mare în grad până la cel mai mic în grad. Sunt căpitanii, să zicem așa. Și ei doi, fiindcă sunt șefii, sunt cei mai puternici, o să se dueleze.

• Se scrie în stânga polinomul f. Se trage o bară, cum se făcea împărțirea mai demult. În partea a doua venim și scriem pe g.
• Duelul ăsta înseamnă că o să facem împărțirea.
• Înmulțesc pe rând cu fiecare element al polinomului g.
• De fiecare dată vin și schimb semnul atunci când trec în tabel.
• Trag o linie dedesubt și le adun. Mereu trebuie să se reducă căpitanii ăștia.
• Luăm polinomul nou. Care este căpitanul polinomului nou? Îl împărțim cu căpitanul polinomului al doilea. Rămâne mereu același.

Cât timp mai tot mergem cu căpitanii ăștia? Cei doi căpitani sunt la același rang? E ok, încă mai merge. Dar dacă mai scădem rangul primului căpitan cu o unitate, ajunge la rangul 1, iar ăsta este la rangul doi. Atunci nu mai putem.

Cantitatea asta de aici pe care am obținut-o se numește câtul. Și cantitatea asta de aici pe care am obținut-o se numește restul. O să vedeți în unele exerciții că o să ni se ceară care este câtul sau care este restul.

Relațiile lui Viète

În primul rând, a fost un matematician. El și-a dat seama de o chestie foarte smart. Și-a dat seama că de fiecare dată suma celor două soluții, adunare, x1 + x2, și produsul, înmulțire, x1 · x2, putem să le aflăm conform unei formule.

Pentru suma asta, formula este -b/a. Și pentru produs, formula o să fie c/a.

Relațiile o să fie de mai multe tipuri. O să fie de gradul doi, gradul 3, gradul 4. Eu obișnuiesc să le predau doar pe cele de gradul doi și de gradul 3, pentru că mai mult de atât nu am văzut în exerciții. Și eu zic că este super suficient.

Dacă ni se zice să calculăm vreodată suma pătratelor soluțiilor, ce înseamnă? Suma înseamnă adunare, pătrate înseamnă la a doua, soluții înseamnă x1 și x2. Deci x1² + x2².

Relațiile de gradul 3

Ăstea o să pice mai des la Bac. Și cum arată ecuația de gradul 3? Ax³ + bx² + cx + d = 0. Asta înseamnă că o să avem trei soluții. Câte soluții avem noi în ecuația noastră, atâtea relații o să și avem.

• S1 o să fie clasica sumă dintre cele trei.
• Suma a doua o să fie sumă de câte două înmulțite între ele. Nu contează ordinea, dar să le avem pe toate scrise.
• La produs, tot așa, înseamnă produsul celor trei.

Avem -b/a, c/a și -d/a. Observați că există o logică între ele. Toate sunt supra a și prima este cu minus, a doua e cu plus, a treia e cu minus.

Vă recomand să le scrieți de fiecare dată așa. Unul la mână, că vă și intră bine în memorie dacă le tot scrieți, și doi la mână, că clar o să putem să și lucrăm cu ele.

Scrieți relațiile la început

Aici vreau eu să fac o mică observație. Când avem ceva cu x1, x2, x3, sigur va trebui să aplicăm relațiile. Ce v-aș sugera ar fi să le scrieți relațiile la început, ca să vă luați sigur ceva punctaj parțial pe ele.

Nu există cazuri când nu le aplicăm, când ni se dă ceva cu x1, x2, x3. Scrii formulele, vezi ce-ți dă, înlocuiești, scoți a, b, c și cam asta ar fi.

Aici e ceva standard. Deci ori știi, ori nu știi.

Ce înseamnă că x1, x2 și x3 sunt soluții?

Spunem că a mic este o soluție a unui polinom f dacă f de a, f de numărul respectiv cu care înlocuim, este 0. Dacă trebuie să arătăm că 3 este rădăcină a polinomului f, atunci trebuie să arătăm că f de 3 = 0.

Dacă avem de a arăta că e pentru orice număr real m, înseamnă că pe noi nu ne interesează m-ul cât o să fie. Să aveți grijă să înlocuiți mereu doar x-ul cu numărul pe care ni-l dau.

Exercițiul care îi încurcă pe mulți elevi

Ar fi bine s-o știe toată lumea, asta e clar. Peste tot cam poate să pice chestia asta. Dacă o rețineți, s-ar putea să luați cinci puncte așa, nesperat, unde nu v-ați fi așteptat. Să zicem că ni se cere să calculăm cât este x1³ + x2³ + x3³.

E o metodă specială, nu e o formulă. De la asta pornim oricum: x1, x2 și x3 sunt soluții.

• Dacă înlocuiești în polinom cu o soluție, o rădăcină, îți dă egal cu 0.
• Practic, scriem polinomul ăla de trei ori. Înlocuim în polinom cu x1, după aceea cu x2 și după aceea cu x3.
• Le adunăm de sus în jos. În partea din stânga o să avem fix ce ne-au cerut ei.
• Până aici a fost pasul mai greu. De aici vin relațiile și înlocuim.

Personal, atunci când avem stilul ăsta de exerciții, prefer să notez cumva exercițiul ăsta. Îl notez de obicei cu un n. Așa ca să-mi fie un pic mai ușor, să nu tot scriu de fiecare dată același lucru.

Întrebări frecvente