Matematica de la zero, logic, fără să tocești nicio formulă

Am învățat formulele pe de rost abia în momentul în care am început să predau la Bac. Până atunci, pe multe dintre ele le deduceam logic, pentru că la fiecare formulă îmi puneam întrebarea: ok, dar de ce e așa? Mai jos îți arăt, pas cu pas, cum lucrez cu formulele la curs, ca să le reții lucrând cu ele, nu tocindu-le.

De ce tocitul nu ține la Bac

Să-ți spun sincer: dacă mă întreabă cineva cât de bună e metoda „înveți formulele pe de rost”, îi dau unu din 10. Nu mi se pare că te ajută să reții formulele ca un papagal. Trebuie să te pui și să le implementezi în exerciții care pică la Bac.

Realist vorbind, poate nu știam 30% din formulele pe care trebuia să le știu, pentru că știam să le deduc logic. Foarte puține formule n-au sens. Ceva trebuie să fie acolo.

Problema cu tocitul e simplă. Stai o jumătate de oră sau o oră să le înveți pe de rost, după aceea le uiți, după aceea iar le înveți. Și dacă ți se schimbă un pic cifrele sau datele problemei, n-o să știi să rezolvi.

Ca să fiu corect cu tine: există și câteva lucruri care chiar trebuie reținute, cum sunt sinusul și cosinusul. Dar și acolo vezi că se leagă cât de cât, iar pe cele mai multe le poți înțelege.

Pasul 1. Întreabă mereu: „bă, dar de ce e așa?”

Primul pas e o întrebare. Mereu puneți-vă întrebări. Mereu. Și dacă nu vi le puneți vouă, puneți-mi-le mie: de ce pui 0 acolo? De ce e semnul ăsta în tabel?

La o lecție cu derivate, un cursant mi-a completat semnele în tabel: minus, plus, minus. Bun, dar de ce e așa? Mi-a zis că a zis așa. Deci a dat-o la ghici. Nu merge chiar așa, că suntem la mate. Trebuie să avem și un argument.

Un exemplu mic: de ce ln din 1 este 0? Orice număr la puterea 0 este 1. ln înseamnă logaritm natural, adică logaritm în baza e. Și ne gândim: e-ul la ce putere ne dă 1? La puterea 0. De asta ln din 1 este 0. Nu mai ai ce toci, ai înțeles.

Și când nu știi să-ți răspunzi, atunci mă ai pe mine și cu mare drag încerc să-ți clarific formula respectivă.

Adi, la curs

Pasul 2. Reconstruiește regulile de calcul de la zero

În matematică, de multe ori avem lucrurile în oglindă. Cum la română sunt antonimele, aici sunt operații opuse: adunarea și scăderea, înmulțirea și împărțirea. Logaritmii sunt opuși ridicării la putere. Dacă înțelegi asta, după aceea nu mai ai probleme deloc.

De aici vine ce le zic cursanților regula BAC: dacă log în baza a din b este egal cu c, atunci b este egal cu a la puterea c. Cel din mijloc este egal cu baza la puterea rezultatului. Exemplu: log în baza 2 din 8. Mă gândesc: 2 la ce putere îmi dă 8? La a treia. Deci rezultatul e 3. Dacă ar fi să vă trimit la Bac cu ceva, v-aș trimite doar cu regula BAC la logaritmi.

La fel la radicali. Vreau să-i tratați ca pe niște cartofi. Radical din 2 este un cartof. Radical din 2 plus radical din 2 înseamnă doi cartofi, adică 2 radical din 2. Iar 5 radical din 2 plus 3 radical din 2 fac 8 radical din 2. Un 2 simplu, fără radical, nu se încadrează, că nu e cartof. Doar să nu scrieți „cartofi” la Bac.

Pasul 3. Leagă formula de un exercițiu concret de Bac

Nu încep cu formula. Încep cu un exemplu și las formula să iasă din el.

La geometria analitică, pentru mijlocul segmentului, le-am cerut cursanților să găsească mijlocul dintre 2 și 8 pe axa numerelor. Au zis 5. Bun, dar cum ajung din 2 și 8 la 5? Le adunăm, ne dă 10, și împărțim la 2. Verificăm și pe alt caz: între 4 și 10, adunăm, 14, împărțit la 2, 7. Merge. Asta e, de fapt, formula mijlocului: aduni coordonatele și împarți la 2.

La progresii, pentru suma primilor termeni, am luat termenii 1, 4, 7, 10, 13, 16. Dacă îl adun pe primul cu ultimul, 1 plus 16, îmi dă 17. Dacă le adun pe următoarele, 4 cu 13, tot 17. Și 7 cu 10, tot 17. Am trei grupulețe de 17, deci suma e 17 ori 3, adică 51. Asta spune și formula: primul termen plus ultimul, înmulțit cu câte numere ai, împărțit la 2, pentru că le grupezi câte două.

Chiar și pentru un termen, nu-ți trebuie nimic tocit. Dacă a1 este 3 și a2 este 9, rația e diferența dintre doi termeni consecutivi, 9 minus 3, adică 6. Iar a3 e a2 plus o rație: 9 plus 6, adică 15.

Pasul 4. Pe ciornă întâi, apoi pe curat, pe pași

Faceți exercițiul pe ciornă, după aia îl treceți pe curat. Nu vă apucați să faceți calculele pe curat, că greșim ceva și începem lucrarea cu tăieturi. Eu de obicei îmi fac pe ciornă desenul, mă asigur că e ok, îmi scriu formulele, după care vin pe curat și le scriu direct.

Pe curat scrii pe pași, ca să vadă și cel care corectează ce calculezi efectiv:

• scrii formula înainte să o folosești, pentru că o formulă corectă poate aduce un punct chiar dacă nu ajungi la capăt;
• scrii înlocuirea, nu doar rezultatul: nu înlocuiți în cap și scrieți direct;
• la ecuația cu logaritm mergi pe trei pași: condițiile de existență, rezolvarea cu regula BAC sau cu o proprietate, apoi verificarea;
• la „arătați că”, încheii cu o frază de concluzie.

N-am de ce să mă grăbesc, n-am de ce să nu scriu tot ce gândesc.

Adi, la curs

Pasul 5. Reții formulele lucrând, pe tipare de exerciții

Formulele, din punctul meu de vedere, se învață făcând exerciții cu ele. La început te uiți prin caiet, te uiți pe memorator, după care la un moment dat îți intră în reflex și nu te mai uiți. Așa le spun și celor speriați de Subiectul III: veste bună, nu va trebui să tociți formulele.

E foarte bine să memorezi anumite tipare de exerciții și niște metode de lucru. Dar e foarte important să le și știi logic, să le gândești și să le înțelegi. Tiparul îți arată drumul, logica te salvează când enunțul arată un pic altfel.

Greșeli frecvente când înveți formulele fără să le înțelegi

• Desfaci logaritmul unei sume: log în baza a din (b plus c) nu se desface în două. Suma logaritmilor devine logaritmul produsului: log în baza 2 din x plus log în baza 2 din 3 este log în baza 2 din 3x.
• Scrii log în baza 5 din 1 egal cu 1. Corect e 0, pentru că 5 la puterea 0 este 1.
• Rezolvi ce e sub logaritm ca pe o ecuație obișnuită și uiți de logaritm. El dispare doar prin regula BAC sau când ai aceeași bază în ambele părți.
• Sari peste verificare la radical și logaritm, unde pot apărea soluții false.
• Calculezi termenii progresiei din cap. Scrie-i unul sub altul: a1, a2 egal cu a1 plus r, a3 egal cu a2 plus r.
• Uiți un minus. Atenție la semne, că uităm un minus și după aia s-a dus pe apă.

Ce să iei cu tine de aici

Nu ai nevoie de o memorie de papagal ca să treci de Bac. Ai nevoie să te întrebi de unde vine o formulă, să o legi de un exercițiu, să lucrezi pe ciornă și să scrii curat, pe pași. Formulele se așază singure pe măsură ce lucrezi cu ele. Iar când te blochezi la un „de ce”, întreabă. Mereu.

Întrebări frecvente