Cel mai greu exercițiu de la subiectul 1, exercițiul 6

La subiectul 1, exercițiul 6, avem două capitole mari la care trebuie să fim atenți, și anume geometria. Geometria asta este de fapt geometria de gimnaziu. Și mai avem capitolul trigonometrie.

Ceea ce îi încurcă foarte mult pe oameni

Am vorbit cu 100 de adulți care urmează să susțină bacul la matematică și efectiv toți mi-au zis că au o singură mare problemă, și anume faptul că nu știu nimic la subiectul 1, exercițiul 6.

Scopul meu este să-ți dau cele mai puține informații de care ai nevoie cel mai mult. O să-ți dau undeva la 80% din informație cu 20% din timp. Ca să nu-ți ia două luni jumate să stai să faci exercițiul 6.

Atenție mare, nu contează profilul la care ești.

O să ne axăm foarte mult pe triunghiuri

Ce-i foarte important: dacă îți dau toată geometria de gimnaziu, te-am pierdut pe drum, zici că îți trebuie doi ani să înveți tot ce e acolo. În schimb, ce-i foarte important este că o să ne axăm foarte mult pe triunghiuri. Se lucrează în triunghiuri de fiecare dată și de cele mai multe ori se lucrează în triunghiurile dreptunghice.

Atunci când avem triunghiul dreptunghic, trebuie să ne gândim așa. Avem două catete. Catetele sunt laturile care formează unghiul de 90°. Ipotenuza este latura opusă unghiului de 90°, este cea mai lungă latură.

În triunghiul ăsta dreptunghic există niște proprietăți pe care o să le folosim. Sunt mai mult decât proprietăți, se numesc chiar teoreme. Sunt două teoreme mari pe care o să le folosim noi.

Teorema lui Pitagora

Lumea se chinuie cu suma pătratelor, catetelor, toată nebunia asta. Nu. Pe tine te interesează de fiecare dată să zici în ce figură geometrică lucrezi.

Teorema lui Pitagora: BC² = AC² + AB². Adică BC, că asta este ipotenuza. Nu contează ordinea în care le punem pe cele două, AC-ul și AB-ul. Deci, dacă o să avem de aflat una dintre laturi și le știm pe celelalte două, ne este foarte ușor.

Teorema unghiului de 30°

Neapărat într-un triunghi dreptunghic se folosesc amândouă. Cateta opusă unghiului de 30, adică AC-ul, este egală cu jumătate din BC, din ipotenuză.

O să ne folosească foarte mult, că de multe ori o să avem un unghi de 30, ne dă ori ipotenuza, ori una dintre catete și trebuie s-o aflăm pe cealaltă. Dacă ai un unghi de 60 sau un unghi de 30, poți să te cam duci cu gândul destul de repede către teorema unghiului de 30.

Aria triunghiului

Aria ce înseamnă? Este toată suprafața pe care o avem aici. Aria triunghiului dreptunghic e catetă 1 × catetă 2 / 2. Foarte important.

Pentru un triunghi oarecare, adică un triunghi normal cu toate laturile diferite ca lungime, aria triunghiului ABC o să fie baza ori înălțimea supra 2.

Teorema lui Pitagora, teorema unghiului de 30 și aria triunghiului într-un triunghi dreptunghic sunt cam cele mai importante trei formule pe care trebuie să le reții.

Hai să vedem și câteva exerciții

O să iau direct din subiecte. Zice triunghiul ABC, care este dreptunghic în A. Cu AB = AC. Și aria triunghiului ABC ni se dă că este egală cu 18. Trebuie să arătăm că BC = 6√2.

Vin și fac direct un desen. De fapt, noi știm că triunghiul nostru o să fie un triunghi dreptunghic isoscel. Ne-a dat AC-ul 6, AB-ul 6, pentru că amândouă sunt egale. De ce nu poate să fie negativă? Pentru că vorbim despre distanțe.

Și acum trebuie să-l aflăm pe BC și ia uite că ne întoarcem frumos la partea de teorie, unde am zis că ne ajută teorema lui Pitagora. Mereu când avem ceva la a doua, aplicăm radical din numărul respectiv.

Numerele prime sunt cele care se împart doar la 1 și la ele. Numerele grupate se înmulțesc și o să iasă în fața radicalului. Ca și cum faci așa o grupă din ele și le scoți de sub radical. Și uite cum am obținut fix valoarea cerută de ei.

Foarte bun exemplu din punctul meu de vedere, pentru că am folosit două formule, poate cele mai cerute, cele mai importante formule de la geometria de la subiectul 1.

Zice că la un exercițiu 6 avem triunghiul ABC dreptunghic în A. Măsura unghiului C este de 60°. Știm că într-un triunghi măsura unghiului A plus măsura unghiului B plus măsura unghiului C în total ne dă 180°. Atunci măsura lui B o să fie de 30°. Și ia uite ce frumos, deja ne ducem cu gândul la teorema unghiului de 30.

Acum hai să vedem partea de trigonometrie

O să-ți arăt cum poți să reții cel mai ușor tabelul cu sinusul și cosinusul. De departe cele mai importante informații. Aici o să avem valorile de 30°, 45 și 60° și ne gândim așa:

• Prima dată, la sinus de 30, un 1/2.
• După aceea, la sinus de 45, o să avem un 2/2.
• Și la sinus de 60 o să avem 3/2.

Doar că o să mai punem un radical aici, deasupra lui 2 și deasupra lui 3, și ne gândim că √1 ar fi aici. Deci am avea √1, √2, √3. Și acum venim la cosinus și le punem fix pe dos. Deci practic se inversează.

La tangentă formula este sinus supra cosinus. La cotangentă vine pe dos, cosinus pe sinus.

Eu ce prefer să fac aici este să-mi iau separat pe ciornă direct tabelul ăsta. Îl fac pe ciornă de fiecare dată când am nevoie de el.

O structură de rezolvare

O să-ți arăt un pic o structură de rezolvare a unui exercițiu care poate părea destul de simplu la început, dar este simplu doar dacă știi următoarele două lucruri. În primul rând, trebuie să știi următoarea formulă, este o formulă de calcul prescurtat: a² - b² se poate scrie ca (a + b)(a - b). Și bineînțeles va trebui să știm valorile pentru sin și cos din tabel.

Atenție mare, 2-ul se înmulțește cu toată cantitatea asta, așadar o s-o pun între paranteze.

Când apare π

Pi/4 ce înseamnă? Pi/4 să însemne 180°/4. Adică dacă împărțim ne dă 45°.

Ăsta să zicem că este cercul trigonometric. O să zicem că asta este axa cosinusului. Și asta o să zicem că este axa sinusului, așa, vertical. Doar că atenție, pe axa cosinusului aici mergem pe stânga, deci o să avem minus și aici mergem la dreapta, deci o să avem plus.

Într-adevăr, exercițiul ăsta a fost un pic mai extra, să-i zicem. Este clar în zona asta cam poate de mate-info. Deci dacă cumva ești la tehnologic sau la științele naturii, nu-i nicio problemă.

Undeva în jur de 90% din capitol deja îl știi dacă știi strict ceea ce am discutat până acum.

Întrebări frecvente